פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה

Transcript

1 שאלון מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') A n יואב ודניאל עובדים בהעמסת ארגזים למשאיות במפעל. יואב מסוגל להעמיס לבדו 0 ארגזים בשעה. דניאל מסוגל להעמיס לבדו n ארגזים בשעה. ביום א' החל יואב את עבודת ההעמסה שעה לפני דניאל, אך גם סיים את העבודה שעה לפניו. כשסיים דניאל להעמיס, נמצא שכמות הארגזים הכוללת שהעמיס דניאל, היתה גדולה ב- n ארגזים מהכמות הכוללת שהעמיס יואב. ידוע שיואב העמיס בין 45 לבין 60 ארגזים. א. מצא את תחום הערכים האפשריים של n עבורם יהיה פתרון לבעיה. ב. מנהל העבודה מצא שביום א' שניהם העמיסו יחד 75 ארגזים. ביום ב' החלו שניהם את העבודה יחד. כשסיים דניאל להעמיס את הכמות שהעמיס יואב ביום א', הפסיק לעבוד. כעבור.5 שעות נוספות של עבודה סיים גם יואב לעבוד. הסתבר שביום ב' יואב העמיס את כמות הארגזים שדניאל העמיס ביום א'. מצא את ערכו של הפרמטר n. בסדרה, A n שהיא הנדסית אינסופית יורדת, איבר מסוים גדול פי שניים מסכום כל האיברים שאחריו. א. מצא את מנת הסדרה. ב. תלמיד העתיק את איברי הסדרה לדף נפרד, והפסיק את ההעתקה אחרי כמות זוגית של איברים. הוא מגדיר סדרה חדשה: B המתייחסת רק לאיברים שהעתיק. n = An B n היא סדרה הנדסית וקבע האם היא יורדת או עולה. הוכח ש- B n סכום האיברים הנמצאים אחרי שני האיברים האמצעיים גדול פי 8 מסכום נתון שבסדרה האיברים הנמצאים לפניהם. מצא כמה איברים בסדרה. B n ביום שבו הגיעו המתיישבים למאדים רק 0% מהם רכשו בכספם דירה. מי שלא יכול היה לרכוש דירה, ניגש באותו יום להגרלה, בה היתה הסתברות של 0.4 לזכות בדירה. מי שהשתתף בהגרלה אך לא זכה בדירה, הגיש באותו יום בקשה מיוחדת לקבלת דירה. רק שליש ממגישי בקשה זו קיבלו דירה. יונתן הגיע למאדים באותו יום. חשב את ההסתברות שבאותו לילה, היתה לו דירה. א. למחרת יום ההתיישבות, נמצא ש- % מהמתיישבים היו בעלי דירה עם חניה. ב. נסמן את שני המאורעות הבאים: המאורע B הוא: "להיות בעל חניה". המאורע A הוא: "להיות בעל דירה".. P B קבע באיזה תחום מספרים נמצאת ההסתברות ) ( ) ( קבע באיזה תחום מספרים נמצאת ההסתברות. P( B) ( ) ( ). P B + P AI ) חשב את סכום ההסתברויות: B ידוע שההסתברות לבחור במאדים בעל דירה שאין לו חניה, גדולה פי שניים מההסתברות לבחור במאדים בעל חניה שאין לו דירה. חשב את ההסתברות לבחור במאדים אדם ללא דירה ולא חניה....

2 פרק שני - גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה בשרטוט מופיעים הריבועים ABCD ו- EFGH. א. הוכח:. ME BH = AE MH ב. נתון: שטחי המשולשים MEF ו- MHG הם בהתאמה 4 סמ"ר ו- 8 סמ"ר. שטח הטרפז CDFG הוא 68 סמ"ר. חשב את שטח הטרפז.BCGH חשב את היקף הטרפז.ADFE נק') 6 נק').4 במעגל שמרכזו בנקודה O ושטחו 69π, המיתר EF חוסם את המלבן ABCD ששטחו 70 סמ"ר. המרחק בין מרכז המעגל לבין המיתר EF קטן פי שניים מאורך.AB אורכי צלעות המלבן הם מספרים שלמים. א. חשב את שטח המשולש CEO. ב. מעבירים את המיתר.BE חשב את המרחק בין הנקודה O לבין מרכז המעגל שקוטרו.BE הנקודה M נמצאת על הקשת EF בצד התחתון של הציור. חשב את הזוית BME..5 במשולש ABC נתון: 5 ס"מ =,AB ס"מ =.BC הצלע BC היא הצלע הארוכה במשולש. א. נסמן:.AC = a מצא עבור אילו ערכי a, המשולש ABC הוא קהה זוית. ב. נתון: 0 ס"מ = a. חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC..6 פרק שלישי - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות ) נק') ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה 6 נק') g(. הפרמטר a מספר x) = x + x+ 9a והפונקציה: f ''( x) = 5 x נתונות הנגזרת השניה: x 5x+ a ו- g(x) נחתכים בזוית ישרה על ציר ה- y. גרף הפונקציה (x) g שלם. הגרפים של הפונקציות (x) f.b בנקודה חותך את הישר x= f '( (x גרף הנגזרת הראשונה A. בנקודה =x חותך את הישר גדול ב- 0 יחידות אורך משיעור ה- y של הנקודה B. מצא את: שיעור ה- y של הנקודה A. f '( ערכו של הפרמטר a ואת משוואת הנגזרת הראשונה (x א. שיעורי ה- x של נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה (x). f ב. בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה- y. f )' משוואת הישר המשיק לגרף הנגזרת הראשונה (x.7

3 f (x) והאסימפטוטות של הפונקציה y= 64 0< (. הישר p) f ( x) נתונה הפונקציה: = ( x+ p) x יוצרים מלבן ששטחו 6 יח' ריבועיות. מצא את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של גרף הפונקציה. א. מצא את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. ב. מצא את נקודות הקיצון של הגרף ואת סוגן. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה (x). f ד.. f (x) על גבי אותה מערכת צירים שעליה ציירת את גרף f )' שרטט בקו מנוקד את גרף הנגזרת (x ה. ולבין הישרים x= ו: '( f חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה (x), f לבין גרף הנגזרת (x ו.. x= נתונים הגרפים של הפונקציות: f ( x) = tan x x) g( בתחום: ו: = tan x למרות שגרף ממשיך גם משמאל לאסימפטוטה השמאלית, לשם הנוחות, הוא מופיע רק בתחום הרלבנטי לתרגיל, מימין לה. מצא את משוואות שתי האסימפטוטות המופיעות בשרטוט. א. קבע איזה מהגרפים מתאים לפונקציה g(x). ב. מהנקודה A, הנמצאת על גרף בין האסימפטוטות, מורידים אנך החותך את גרף בנקודה B. מצא את אורכו המינימלי של הקטע.AB. ABO כאשר אורך AB מינימלי, חשב את שטח המשולש ד.. π 5π x בהצלחה!

4 ( ) פתרונות: ( א. n< 90 < 60. ב. עולה. ב. שישה. ( ) ( P B. 0. B (. 0. P 0. ( ב. ( א ס"מ. ב. 4 סמ"ר. 4) 0..8 ב..0 סמ"ר. א. 7.5 סמ"ר. 5) ב..6 ס"מ. א. a< < 8. (6 ב. אין נקודות קיצון. נקודות הפיתול: ±.9=x.. f '( x) = x 5x+ (7 א. a=4, 4 4. y=.5x 6 ב. 56,0), 7,0)(.( (8 א. ) 6 p= ( תחום ההגדרה: x 6,0, אסימפטוטות: x= 0. y= 0, x= 6, ה. ד ), 84.( 80 יח"ר. ו.. ) א..7 יח' ריבועיות. 5.9 = 7 ב. הגרף המתאים הוא. יח' אורך. ד.. x π π (9 א. x=, = 4

5 שאלון מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') B n A n משאית יוצאת מחולון לאילת, מרחק של 60 ק"מ. כעבור שעה מיציאתה, יוצא מאילת אופנוע לכיוון חולון. כעבור שעה נוספת, יוצאת מאילת מכונית לכיוון חולון. המשאית חלפה על פני האופנוע ועל פני המכונית באותו רגע, כעבור שלוש שעות מיציאתה לדרך. כאשר הגיעה המשאית לאילת, היה המרחק בין המכונית לאופנוע 8 ק"מ. א. מצא את מהירויות הרכבים. ב. המכונית הגיעה לחולון בשעה 4:00 ומיד הסתובבה והחלה לנסוע בחזרה לאילת. מצא באיזו שעה חלפה המכונית על פני האופנוע, בדרכה בחזרה לאילת. נתונה הסדרה ההנדסית העולה. אם נוסיף לאיבר הראשון שלה 50, נגדיל את האיבר השני שלה ב- 50%, ונחלק את האיבר השלישי שלה ב- 6, נקבל שלושה מספרים שמהווים סדרה הנדסית יורדת. א. מצא את האיבר הראשון בשתי הסדרות. ב. נסמן באמצעות p את מנת הסדרה העולה. A n כעת ממשיכים את הסדרה היורדת כך שיש לה m איברים. לאחר מכן, באותה סדרה יורדת, בין כל שני איברים סמוכים, מוסיפים איבר, כך שמתקבלת סדרה הנדסית יורדת שנכנה. הבע באמצעות p ו- m את הנוסחה לאיבר הכללי בסדרה נתון שבסדרה מצא בסדרה. B n A n B n סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 5. את מיקומו של האיבר שערכו.... במדגם בחירות, מחצית מהמשתתפים היו צעירים והיתר מבוגרים. שליש מהבוחרים הצביעו למפלגות השמאל, שליש הצביעו למפלגות המרכז, והיתר הצביעו למפלגות הימין. נגדיר את המאורעות: המאורע A הוא: "להיות צעיר". המאורע B הוא: "להצביע למפלגות הימין". המאורע C הוא: "להצביע למפלגות המרכז". נתון: המאורעות A ו- B בלתי תלויים זה בזה אך המאורעות A ו- C תלויים זה בזה.. P( AI א. מצא את תחום הערכים האפשרי של ההסתברות: ) C. )P AI חשב את ההסתברות לבחור צעיר מבין מצביעי השמאל. C) = P( AI ב. נתון: (C בחרו שישה אנשים שהצביעו לשמאל או למרכז. חשב את ההסתברות שמחציתם מבוגרים.

6 פרק שני - גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה נק') 6 נק') M. בנקודה נחתכים ו- CD BE הקטעים. DE במשולש ABC נתון: BC נתון: ס"מ= AE, ס"מ= CE. הקטעים MN ו- FE מאונכים לבסיס.BC.5 EM = BM הוכח: א.. 7 MN= הוכח: 5EF ב. נתון שהיקף המשולש ABC הוא 4 ס"מ. 0 נתון: = 60 ABC. p חשב את שטח המשולש ABC..4 הישרים AB ו- AC משיקים למעגלים שבשרטוט בנקודות B ו- C בהתאמה. נתון:. AB = AE המיתר DE ארוך ב- 0 ס"מ מהמשיק.AB א. חשב את אורך המשיק.AC.DE את אמצע המיתר O ב. נסמן ב- O היא מרכז המעגל השמאלי. הוכח: הנקודה O היא מרכז המעגל הימני. שטח המשולש הנקודה. ABO חשב C גדול פי משטח הדלתון AO O 4. O את היקף המעגל שמרכזו.5 המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו 4R. המשולש ADC חסום במעגל שרדיוסו R. AD א. חשב את היחס:. AB 0 ב. נתון: p BAD= 90, AC = AD ו:. p CAD=α מבלי לחשב את הזויות, חשב את ערכם של הוכח שהמשולשים. cosα ושל cos α ABD ו- ABC חסומים על ידי מעגלים ששטחם זהה..6

7 פרק שלישי - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות ) נק') ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה 6 נק') a =x חותך את גרף הפונקציה (x) f בנקודת x). f ''( הישר נתונה הנגזרת השניה: + = 5 x x הפיתול שלה ברביע הראשון. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה (x) f בנקודה בה =x 0.5 הוא 7-. הישר =y משיק לגרף הפונקציה (x) f ברביע הראשון. מצא את משוואת הפונקציה (x). f א. בתחום 0 x. שרטט את גרף הפונקציה (x) f ב. זוגית או אי זוגית, ושרטט בהתאם את הגרף המלא שלה. קבע האם הפונקציה (x) f. f '( (x שרטט את גרף הנגזרת ד. מורידים אנך לציר ה- x. חשב את השטח הכלוא ברביע )' f דרך נקודת הקיצון של גרף הנגזרת (x ה. והאסימפטוטה האופקית של )' f לבין גרף הנגזרת (x הראשון בין אנך זה, לבין הישר =x הגרף.. 0< a עבור A(0, ) a והנקודה f ( x) = x 4ax+ a נתונות הפונקציה: 8. מהנקודה A שאינה על גרף הפונקציה, יוצאים שני משיקים לגרף (x). f השטח לבין שני המשיקים שווה ל- 44 יח"ר. הכלוא בין גרף (x) f חשב את ערכו של a. א. (x. f ( נתונים ארבעה שרטוטים. קבע איזה מהם עשוי = g'( נתון: (x ב.. g' '( לייצג את הגרפים של הפונקציה g(x) ושל הנגזרת השניה (x נמק נתון שגרף הפונקציה g(x) הפונקציה g(x) ואת סוגן. עובר דרך ראשית הצירים. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של גרף האולם ABCDהוא בצורת ריבוע שאורך צלעו 0 מטרים. הנקודהEהיא אמצע הקיר.AB מהפינהDמטיחים כדור טניס לכיוון הקיר,BC אשר פוגע בו בנקודה Fומשם נזרק לנקודה E. מהירותו של הכדור לאורך כל תנועתו היא 0 מטרים לשניה (הנח כי לאחר הפגיעה בקיר, הכדור יגיע בוודאות לנקודה E). מצא מה צריך להיות אורך,CF שעבורו זמן התנועה הכולל של הכדור יהיה מינימלי..9 בהצלחה!

8 p. 54 m פתרונות: ) א. משאית: 00 קמ"ש, מכונית: 60 קמ"ש, אופנוע: 0 קמ"ש. ב. בשעה 5:40. ) א. בסדרה העולה האיבר הראשון הוא 4. בסדרה היורדת האיבר הראשון הוא 54. האיבר הרביעי.. 0 P( AI C) P( < או < AI C) ( א ) 8.06 סמ"ר. (5 א. 0 ס"מ ס"מ =.π α (6 א ב. = 0.8 cos. cos α = 0.8, ב. ב..0.. ב) ג) אי זוגית.. f ( x) = + + x x x 7) א). ה) 0.08 יח"ר. ד). min( 9,0), max(,6) ב. גרף. (8 א. a=. (9 0 מ'.

9 שאלון מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') גולן ומיכל מסייעים לאבא לקטוף חמניות בחלקות א' ו-ב'. גודל החלקות שונה, אך אינו משתנה מחודש לחודש. מיכל קוטפת בשעה חמניות יותר מאשר גולן. ביולי, גולן סיים לבדו את הקטיף של חלקה א' תוך 6 שעות, ומיכל סיימה לבדה את הקטיף של חלקה ב' תוך 5 שעות. באוגוסט החליפו ביניהם את החלקות ואף הגבירו את קצב הקטיף שלהם: גולן הגדיל פי חמש ומיכל הגדילה פי שניים. זמן העבודה הכולל של מיכל בחודשיים הללו היה ארוך בשלוש שעות מזמן העבודה הכולל של גולן. א. מצא כמה חמניות בשעה קוטף כל אחד. ב. בספטמבר, הוחלט כי שניהם יקטפו יחד את כל החמניות בשתי החלקות. גלבוע, אחיו התאום של גולן, שיכולות הקטיפה שלו זהות לשל אחיו, הצטרף לשניים בקטיף. שלושתם עבדו יחד מרגע שהתחילו ועד סיום העבודה. חשב כמה זמן עבודה חסכה הצטרפותו של גלבוע לגולן ולמיכל.. A n = pn n נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא: קבע האם הסדרה חשבונית, הנדסית, או שאינה חשבונית ואינה הנדסית. א. שהחל נתון שהאיבר הראשון בסדרה חיובי, והחל ממנו והלאה, האיברים הולכים וקטנים כך ב. מהאיבר השמיני והלאה (כולל השמיני), האיברים שליליים. מצא את טווח הערכים האפשריים של הפרמטר p. נתון: הפרמטר p מספר שלם. נתונים הסכומים הבאים הנכונים עבור כל n טבעי: n( n+ )( n+ ) n( n+. ו: ) n = n = 6. A n היעזר בסכומים אלו, והבע באמצעות n את סכום n האיברים הראשונים בסדרה מצא את המספר המינימלי של איברים רצופים בסדרה זו, שיש לחבר החל מהראשון והלאה, כדי ד. שסכומם הכולל יהיה שלילי. בבית ספר יסודי, לומדים בנים ובנות בשלוש שכבות הגיל: א', ב' ו-ג'. ההסתברות לבחור מתוך כל תלמידי בית הספר, בן שלומד בכיתה א' היא 0.. חמישית מהתלמידים בבית הספר הן בנות שלומדות בכיתה ב'. מתוך 00 תלמידי בית הספר, 60 לומדים בכיתה ב'. נגדיר ארבעה מאורעות: - המאורע B הוא "ללמוד בכיתה ב". - המאורע A הוא "ללמוד בכיתה א". - המאורע D הוא "להיות בן". - המאורע C הוא "ללמוד בכיתה ג".. P( AI (D ) ) P(D). א. מצא מהו תחום הערכים האפשרי של ההסתברויות: ב. נתון: D). P( C / חשבו את ההסתברויות הבאות: = 0.5, P( CI D) = P( BI D). P( AU D) (. P( D / B) (. P( A / D) ( אחת לשבוע, בוחרים באקראי תלמיד לנקות את הבמה לקראת שבת. חשבו את ההסתברות שבמשך שבועיים רצופים יבחר מישהו מכיתה א', ולאחר מכן במשך שלושה שבועות רצופים, תיבחר בת כלשהי....

10 פרק שני - גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה נק') 6 נק') בריבוע,ABCD האלכסון BD חותך את הישר CE בנקודה F. נתון: 5 ס"מ =,EF 0 ס"מ =.CF DEF. ( CDE. ( חשב את שטחי המשולשים: א. הישר CE הוא קוטר של מעגל. המעגל חותך את האלכסון BD ב. בנקודה M (הנמצאת בין B ל- F ), ואת הצלע BC בנקודה N. קבע האם המיתר DM קצר יותר, ארוך יותר, או שווה באורכו לקטע.CE נמק. הוכח:.CD = EN. BM BD= AE הוכח: AD ד..4. R R ו- הנקודה O היא מפגש הגבהים של המשולש ABC. נסמן: p ABC=β, AC = b, AB=a ו-. p ACB=α המרובעים CDOE ו- BDOF חסומים במעגלים שרדיוסיהם הם בהתאמה R b sin α א. הוכח: =. R a sin β ב. הוכח: רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC שווה באורכו לרדיוס המעגל החוסם את המשולש BCO..5 ( AB= AC) נתון: במשולש שווה השוקיים ABC. p ABC=α, BC= a נסמן:. BD AC, DE AB הבע באמצעות a ו- α את שטח המשולש ADE. א. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADE הוא R. ב.. 0.5R חשב את הזוית α. נתון ששטח המשולש ADE הוא: בחר את הזוית α הקטנה מבין השתיים שמצאת בסעיף ב'. המעגל החוסם את המשולש BDE חותך את הבסיס BC בנקודה E. את אורך הקטע.BE הבע באמצעות R.6

11 פרק שלישי - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות ) נק') ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה 6 נק'). ( 0< b) f '( x) = 8x ( x b ) נתונה הנגזרת:. f '( מצורף גרף הנגזרת (x היא פונקציה זוגית, אי זוגית )' f קבע האם הנגזרת (x א. או שאינה זוגית ואינה אי זוגית. אין פתרון. שרטט על גבי (x f ( = f '( נתון שלמשוואה (x ב. f '( אותה מערכת צירים סקיצה של את גרף הנגזרת (x ושל גרף הפונקציה (x). f ברביעים השני והרביעי הוא לבין ציר ה- x )' f נתון שסכום השטחים הכלואים בין גרף הנגזרת (x גדול פי שניים משיעור ה- y של נקודת 5 יח"ר. שיעור ה- y של נקודת המקסימום של גרף (x) f המינימום של גרף (x). f מצא את משוואת הפונקציה (x). f tan x tan x tan x+. f ( x) = נתונה הפונקציה: tan x+ π π עבור גרף הפונקציה (x), f בתחום: x, מצא את: א. תחום ההגדרה.. נקודות החיתוך עם ציר הצירים.. נקודות הקיצון וסוגן.. π π בתחום: x. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה (x) f ב. בנקודה אחת בלבד בתחום: >0 m ) ( חותך את גרף (x) f הישר =y m π π m. מצא את ערכו של הפרמטר. x x). g ( הוסף את = f '( מצורף שרטוט של גרף הפונקציה g(x). נתון: (x ד. לשרטוט הנתון וחשב את השטח הכלוא ברביע הראשון הישר =y m π בינו לבין ציר ה- y, גרף הפונקציה g(x) והישר =x. 4 בציור נתונים המרחקים: 4 ק"מ =,AB ק"מ = BC בבוקר יוצאים שני הולכי 0 ABC=0. p בשעה 6:00 והזוית: רגל לדרכם: אורי יוצא מהנקודה A לנקודה B במהירות של שני קמ"ש; ובועז יוצא מהנקודה B לנקודה C במהירות של שלושה קמ"ש. מצא באיזו שעה יהיה המרחק ביניהם: מינימלי. א. מקסימלי. ב בהצלחה!

12 .0.06 n. ( n+ )( 0 n) 5.5 שעות. פתרונות: ) א. מיכל: 4 חמניות. גולן: חמניות. ב. ד. איברים. (.0.7. ( ) א. אינה חשבונית ואינה הנדסית. ב. >p ב. (. P( AI D) 0.6 (. 0. P( D) ( א. ( 0.8 4) א. ) 94 סמ"ר. ) 6 סמ"ר. ב. DM קצר יותר כי CE קוטר. cos α sinα a 0 0. ב. = 8.5 α או = 5.5.α 6) א. 4cosα. 0.69a 4. f ( x) ב ) b ( x = ( 7 א. אי זוגית.,0) π. min( ב. 4 (. (0,) π,(,0) 4 π π π π (. < x<, < x< (8 א. ( 4 4 m=4. ד. += 4.4 π (יח"ר). (9 א..7:00 א..:00

13 שאלון מבחן 4 פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') ו- C A מהנקודות אופניים, אסף וקובי, יצאו רוכבי שני בהתאמה לכיוון הנקודה D. אסף שמהירותו קמ"ש יצא שעה לפני קובי שמהירותו קמ"ש. הזוית בין הקטע BD לבין הקטע CD היא 6 ק"מ =.CD נתונים המרחקים: ק"מ =,AD המרחק בין אסף לבין קובי היה 6 ק"מ. ב- :00 מצא את השעה בה יצא אסף מהנקודה A (שעה עגולה). א. בשעה :00 הפחיתו אסף וקובי את מהירויותיהם ב- v קמ"ש וב- v קמ"ש בהתאמה. קובי ב. הגיע לנקודה D יותר משעתיים לפני שאסף הגיע אליה. מצא באיזה תחום ערכים נמצא v.. A n A n בעלת שלושה איברים חיוביים, שהפרשה. אם נעלה בריבוע את האיבר נתונה סדרה חשבונית הראשון, נוסיף 9 לשני ונפחית 4 מהשלישי, תתקבל סדרה חשבונית חדשה.. א. ב. A n ואת שלושת איבריה. מצא את הנוסחה לאיבר הכללי של הסדרה ממשיכים את הסדרה כך שיהיו בה n איברים ולאחר מכן מגדירים באמצעותה סדרה חדשה שהאיבר הכללי שלה הוא: מצא כמה איברים בסדרה Bn B n ) ( B. נתון הסכום: n = A n = 846. A n לחלק מהחיילים ביחידה יש חברה. בוחרים ארבעה חיילים מהיחידה. ההסתברות שרק לאחד מהם יש חברה גבוהה פי ארבע מההסתברות שבדיוק לשלושה מהם יש חברה. א. חשבו את ההסתברות לבחור מהיחידה חייל שיש לו חברה. ב. מחצית מהחיילים שאין להם חברה יוצאים בקרוב לקורס קצינים. שיעור החיילים בעלי חברה מבין היוצאים לקורס קצינים שווה לשיעור החיילים בעלי החברה מבין אלו שאינם יוצאים לקורס קצינים. לאיציק יש חברה. חשבו את ההסתברות שהוא יוצא לקורס קצינים. לארבעה חיילים ביחידה יש חברה. חשבו את ההסתברות שבדיוק שלושה מהם יצאו לקורס קצינים. ד. קבע האם המאורעות: "לצאת לקורס קצינים" ו-"להיות ללא חברה" הם תלויים או בלתי תלויים. פרק שני - גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה נק') 6 נק') הישר AB משיק לשני המעגלים בנקודה B. הישר AC משיק למעגל הקטן. CE= בנקודה C. נתון: AD א. הוכח שהנקודה D היא אמצע.AC ב. חשב את היחס בין שטחי המשולשים: EBD ו-. ACB המשכו של המיתר BC חותך את המעגל הגדול בנקודה F. הוכח: =. AD BC AB CF..4

14 0 במשולש ABC ישר הזווית ) 90 ABC= ( p חסום מעגל ובתוכו חסום המשולש DEF כמתואר בשרטוט. הצלע DF ארוכה ב- 0% מהצלע.DE א. חשב את שתי הזוויות החדות במשולש ABC. ב. קוטר המעגל החוסם את המשולש ABC ארוך ב- 7 ס"מ מהקטע.CE חשב את שטח המשולש. DEF.5 ב.. AB+ AC= 7a במשולש ABC נתון:, p ACB = β, p ABC =α א. נתון:. sinβ = 4sinα הבע באמצעות a את אורכי הצלעות AB ו- AC.. p BAC ( b + 7a ) ( b 7a ) cosα. = נסמן:.BC = b הוכח: cosβ 4 נתון:. 4 cosβ = cosα חשב את גודל הזוית.6 פרק שלישי - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות ) נק') ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה 6 נק'). f '( בשרטוט מופיעים הגרפים של הפונקציה (x) f ושל הנגזרת הראשונה (x. E(.94,.), D(., 0.4) נתונים שיעורי הנקודות: (0.5,5.)B, א. קבע אילו מהגרפים, העליון או התחתון, מתאים להיות גרף הנגזרת '( f. נמק. x) ב. מצא את תחומי הקעירות והקעירות של גרף (x). f 5( x+ a). ( 0< a) f ( x) נתון: + p = x + a שיעור ה- x של הנקודה A הוא -. הבע באמצעות p בלבד את שיעורי הנקודה C. ד. חשב את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הנגזרת לבין הצירים. )'' f וחשב את סכום השטחים הכלואים בינו לבין ציר ה- x ברביעים ה. שרטט את גרף הנגזרת השניה (x הראשון, השני והרביעי. ו. המרחק בין הנקודה A לבין ציר ה- x, גדול פי שניים מהמרחק בין הנקודה C לבין האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה p. מצא את ערכו של הפרמטר. f (x).7

15 בנקודה E. כאשר שטח המלבן ו- g(x) לבין הישר.AE 8a 7.( 0< a ) g ( x) x) f ( ו: = = נתונות הפונקציות: x (5a x) האסימפטוטות של גרף הפונקציה g(x), האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה (x), f והישר =y יוצרים מלבן ששטחו 0 יח' ריבועיות. א. מצא את הפונקציות (x) f ו- g(x). ב. נתונים הגרפים של שתי הפונקציות. קבע איזה מהגרפים מתאים לפונקציה (x). f מהנקודה A הנמצאת על גרף הפונקציה g(x) יוצאים הישרים AB ו- AD כך שהמרובע ABCD המופיע בשרטוט הוא מלבן. מצא את שטחו המינימלי של המלבן. ד. ממשיכים את הישר AD כך שהוא חותך את גרף הפונקציה (x) f מינימלי, חשב את שטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות (x) f.8 חברת הובלה מפעילה משאית הנוסעת מדי יום במהירות קבועה V שעת נסיעה של משאית, משלמת החברה 490 לחברת ביטוח וגם ק"מ נסיעה, משלמת החברה א. ב. למרחק קבוע של 00 ק"מ. עבור כל V כשכר לנה בנוסף, עבור כל 5 V 0 V 5 כהוצאות דלק. מצא את המהירות V עבורה הוצאות החברה ביום, יהיו מינימליות. החברה זכתה במתנה בשני קטנועים. עבור שעת נסיעה של קטנוע, תשלם 5 לחברת ביטוח ועוד כהוצאות דלק. חשב את המהירות V, V 60 כשכר לנה בנוסף, עבור כל ק"מ נסיעה תשלם עבורה הוצאות החברה יהיו מינימליות, כאשר תפעיל משאית ושני קטנועים (מרחק הנסיעה היומי נותר 00 ק"מ לכל אחד מהרכבים)..9 בהצלחה!

16 . x< < x<. פתרונות: v<.5 <. ב..0:00 ( א. ב. איברים..7,0,. A n האיברים: ( א. n+ 4 = ) א.. ב ד. בלתי תלויים. 4 ב) ,0.5 ב..787 סמ"ר. (5 א. 0. p BAC = 90. AB= 4 a, (6 א. AC = a.94<, קעירות : x<.< או 0.5 ב. קעירות : x 7) א. התחתון. יח"ר והשרטוט: ה. סכום השטחים.86 ד. 5 יח"ר. +p, (. (7.5 ו. p= 5. או 0 = 8) א. x). g ( ב. גרף יח"ר. ד.. יח"ר. =, f ( x) = 7 x (5 x) ( 9 א. 70 קמ"ש. ב. 60 קמ"ש. 8 7

17 שאלון מבחן 5 פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') דניאל ויונתן מסיימים לשטוף את רחבת הריקודים במועדון, כאשר הם עובדים יחד, תוך 8 שעות. ליונתן לוקח p שעות יותר מדניאל, לסיים שטיפה של מחצית הרחבה. א. הבע באמצעות p את משך הזמן שלוקח לדניאל לסיים לבדו את שטיפת הרחבה. עבור המשך התרגיל, בחר בפתרון הגבוה מבין השניים שקיבלת בסעיף א'. ב. הבע באמצעות p את משך הזמן שלוקח ליונתן לסיים לבדו את שטיפת הרחבה. ביום שלישי, החל יונתן לבדו לשטוף את הרחבה בשעה 8:00 בבוקר. בשעה 9:00 הצטרף דניאל. כעבור שלוש שעות של עבודה משותפת, הסתבר כי השטח שהספיק דניאל לנקות היה גדול ב- 50% מהשטח שהספיק יונתן לנקות באותו יום. מצא את ערכו של הפרמטר p.. S n = n ( n+ ) נתון בנוסחה: A n סכום n האיברים הראשונים בסדרה א. הוכח שהסדרה חשבונית ומצא את משוואת האיבר הכללי שלה. n. B הבע באמצעות n את סכום n האיברים הראשונים n = A n ב. הגדירו סדרה חדשה: ( ). B n בסדרה B n הוסיפו m. את כל אחד מאיברי הסדרה הפרמטר m הוא חיובי. לכל אחד מאיברי הסדרה A n (אחרי ההכפלה) גדול פי שמונה A n הכפילו פי m. סכום m האיברים הראשונים בסדרה m. מצא את ערכו של הפרמטר. B n מסכום m האיברים הראשונים בסדרה ההסתברויות שדן ושי יסיימו בהצלחה מקצה בודד של ריצה הן p ו- q בהתאמה. ההסתברות שדן יסיים בהצלחה בדיוק ארבעה מקצים מתוך שבעה, קטנה פי שלושה מההסתברות שיסיים בהצלחה בדיוק שלושה מקצים מתוך השבעה. ההסתברות ששי יסיים בהצלחה שני מקצים מתוך שישה גבוהה פי 0 מההסתברות ששי יסיים בהצלחה חמישה מקצים מתוך שישה. א. מצא את ערכם של הפרמטרים p ו- q וקבע מי מבין השניים הוא אצן מוכשר יותר. ב. כדי להחליט מי מהשניים ישלח לייצג את התיכון באליפות העירונית בה מתקיים מקצה אחד של ריצה, הוחלט להטיל קוביה. הנעלם x מייצג את אחת הספרות המופיעות על גבי הקוביה. אם בהטלת הקוביה יתקבלו הספרה x או הספרות הנמוכות ממנה, יישלח לתחרות המועמד המוכשר יותר מבין השניים. באליפות העירונית, המועמד הנבחר עשוי לסיים בהצלחה את מקצה הריצה או להיכשל בו. ההסתברות שהמועמד שיבחר יסיים את המקצה בהצלחה, נמוכה ב- 7 מההסתברות שיכשל. מצא את x. 8...

18 פרק שני - גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה נק') 6 נק') בשרטוט מופיעים שני מעגלים שמרכזם באותה נקודה. E. למעגל הקטן בנקודה משיק הוא קוטר במעגל הגדול ו- AB AC א. הוכח: = CE. AF DE AG ב. נתון: קוטר המעגל הגדול ארוך ב- 4 ס"מ מקוטר המעגל הקטן. נתון: CE=6. DE חשב את שטח המשולש ACE. חשב את המרחק בין הנקודה E לבין הקוטר.AC.4 ישר היוצא מהנקודה A משיק למעגל בנקודה B. הישרים AC ו- AD חותכים את המעגל בנקודות. AE= AF, AC = AB נתון: בהתאמה. ו- E F CF. DE חשב את היחס: א. ACD ~ AEF. הוכח: ב. סמ"ר. הוא 77 נתון: שטח המרובע CDEF נסמן:. p CAD=β הבע באמצעות β את אורכי הצלעות AF ו- EF..5 בריבוע ABCD ששטחו 9m נסמן:. p EDC=α, DE = m הבע באמצעות α את ECD). cos( p. cosα מצא את ערכו של. cos( p ECD) נתון: = 7 הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך שהמרובע CDEF חסום במעגל. בחר בערך הנמוך של cosα שמצאת בסעיף ב', וחשב את גודל הזויות:. p EDF (. p EFD..6 א. ב.

19 פרק שלישי - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות ) נק') ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה 6 נק').7.8 ד. ה. π. 0 x π בתחום: f ( x) = ( a ) tan x+ (4 a) tan( x נתונה הפונקציה: ) א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה (x) f במסגרת התחום הנתון. ב. מצא את תחום הערכים של הפרמטר a, עבורם גרף (x) f בהכרח עולה לכל x בתחום ההגדרה. הנקודה (,0 ( היא אחת משתי נקודות הקיצון של גרף (x) f מצא את נקודת הקיצון הנוספת ואת סוגה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה (x) f עם ציר ה- x. שרטט את גרף הפונקציה (x). f נתונה הנגזרת השניה:. f ''( x) = ( x + 4) ( x+ ) 5 p( x) f ''( x) ו- f '( x) לגרפים של (x), f.. בתחום הנתון. אותו תחום הגדרה. נתונים ארבעה גרפים:.4. א. ב. ד. )' f במקרה שבו מצא אילו גרפים מבין הארבעה, אם בכלל, עשויים להיות גרף הנגזרת הראשונה (x הפונקציה p(x) : ( חיובית לכל.x ( שלילית לכל.x נתון: הפונקציה p(x) חיובית לכל x. מצא את תחומי הקעירות ו- של גרף הפונקציה (x). f מצא את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של גרף הפונקציה (x), f ואת סוגן. נתון ששיעור ה- y של נקודת המקסימום הוא חיובי. גרף (x) f חותך את ציר ה- y על הקרן השלילית (x f ( וקבע האם ניתן לדעת את סימני הפתרונות הללו. שלו. מצא כמה פתרונות יש למשוואה = 0 (x) f בנקודת x =6 y x משיק לגרף הפונקציה x). f '( הישר 0 = x + x+ a נתונה הנגזרת: החיתוך שלה עם ציר ה- y. מצא את משוואת הפונקציה (x). f א. נתון שרטוט של גרף הפונקציה (x). f המלבן ABCD ב. לבין ציר ה- x כמתואר כלוא בין גרף הפונקציה (x) f בשרטוט. מצא את היקפו המקסימלי של המלבן..9 בהצלחה!

20 ( π π. (,0), (,0) 6 (. p= 6. AF =. cos α = יונתן: ב. 8. p± p + 64 פתרונות: ) א. דניאל:. m=4.n ב. הסכום:. A n ( א. n+ = p=. q=, שי אצן מוכשר יותר. ב. = 4 ( א ) ב. סמ"ר..4 ס"מ. 8+ p+ p. x, EF sinβ 4 = cos α = cosβ 5 4cosβ = sinβ sinβ ב. או, π. max( ד. ). < a< 4 (5 א... cosα ECD). cos( p ב. = 6) א. cosα π π 5π 5π. 0 x<, < x< (7 א. < x π, 6 6 ה.. x < (8 א. ( גרף (. אף גרף. ב. קעירות : x <. קעירות : בנקודת המינימום =x 6. בנקודת המקסימום =x. ד. ארבעה פתרונות, מתוכם שלושה שליליים ואחד חיובי. x). f '( ב. יח' אורך. = + x + x+ (9 א. 4